Ep 20 — 定量分析入门：朗伯-比尔定律
系列：红外光谱百科：从原理到实战
篇章：第二篇 · 初级篇 — 走进实验室
适合人群：高中/大学本科生、研究生、刚进入实验室的检测技术人员
前置知识：Ep 04（红外光谱图怎么看）、Ep 16（样品制备）、Ep 17（仪器操作）、Ep 18（谱图处理）、Ep 19（定性分析）
阅读时间：约 40 分钟
引子：从"是什么"到"多少"
1760 年，德国数学家 Johann Heinrich Lambert 在一本光学著作里写下一个看似简单的命题：光通过介质时的强度衰减，与介质厚度呈指数关系 [1][2]。
1852 年，德国物理学家 August Beer 把这个定律推广到溶液：衰减还与浓度成正比 [1][2]。这就是后世称为"朗伯-比尔定律"（Lambert-Beer Law）的公式：
$$A = \varepsilon \cdot b \cdot c$$
短短一个公式，建立了吸光度 $A$、光程 $b$、浓度 $c$ 之间的定量关系，成为整个现代光谱定量分析的基石——UV-Vis、红外、荧光都依赖它 [1][3]。
对红外光谱而言，朗伯-比尔定律的价值在于：只要知道某官能团的特征峰吸光度，就能反推浓度。这意味着我们可以用红外光谱定量分析混合物组分、追踪反应进程、监控产品质量——无需分离 [1][4]。
本集我们将系统讲解：朗伯-比尔定律的推导与适用条件、峰高法 vs 峰面积法、工作曲线法、多组分定量、注意事项、与 UV-Vis/色谱的对比，并用一个实例完整演示定量分析流程。
💡 本集定位：Ep 19 是定性（"是什么"），本集是定量（"多少"）。两者共同构成红外光谱分析的核心能力。本集也是第二篇"初级篇"的收官之作。
一、朗伯-比尔定律
1.1 定律推导
考虑一束单色光强度为 $I_0$，通过厚度 $b$、浓度为 $c$ 的溶液后强度变为 $I$ [1][3]：
I₀ → ────────────────────→ I
┌────────────────┐
│ 溶液（光程 b）│
│ 浓度 c │
└────────────────┘
第一步：朗伯定律（Lambert, 1760）[1][2]
光通过薄层 $db$ 时衰减：
$$\frac{dI}{I} = -\alpha \, db$$
积分得：
$$\ln\frac{I_0}{I} = \alpha \cdot b$$
转换为常用对数：
$$\log\frac{I_0}{I} = \frac{\alpha}{2.303} \cdot b = K \cdot b$$
其中 $K$ 是与介质性质有关的常数。
第二步：Beer 定律（Beer, 1852）[1][2]
$K$ 与浓度 $c$ 成正比：
$$K = \varepsilon \cdot c$$
代入得朗伯-比尔定律：
$$\boxed{A = \log\frac{I_0}{I} = \varepsilon \cdot b \cdot c}$$
其中 [1][3]：
- $A$：吸光度（无量纲，常表示为 Abs）
- $\varepsilon$：摩尔吸光系数（L·mol⁻¹·cm⁻¹）
- $b$：光程（cm）
- $c$：浓度（mol/L）
1.2 透光率与吸光度
透光率（Transmittance） [1][3]：
$$T = \frac{I}{I_0}$$
百分透光率：%T = $T \times 100\%$
吸光度：
$$A = -\log T = \log\frac{I_0}{I} = -\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$$
T 与 A 的关系：
| T | %T | A |
|---|---|---|
| 1.0 | 100% | 0 |
| 0.5 | 50% | 0.301 |
| 0.1 | 10% | 1.0 |
| 0.01 | 1% | 2.0 |
| 0.001 | 0.1% | 3.0 |
表 1：透光率与吸光度换算（综合 [1][3]）
最佳吸光度范围 [1][3][4]：
- 0.3–1.0（最理想）
- 0.1–1.5（可接受）
- < 0.1：噪声大
1.5：可能偏离线性
1.3 摩尔吸光系数 $\varepsilon$
物理意义 [1][3]：单位浓度（1 mol/L）、单位光程（1 cm）时的吸光度。
红外 vs UV-Vis [1][4][5]：
| 类型 | 典型 $\varepsilon$（L·mol⁻¹·cm⁻¹） |
|---|---|
| UV-Vis 强吸收（π→π*） | 10,000–100,000 |
| UV-Vis 中等吸收 | 1,000–10,000 |
| IR 强吸收（C=O 等） | 100–1,000 |
| IR 中等吸收 | 10–100 |
| IR 弱吸收 | 1–10 |
表 2：UV-Vis 与 IR 的摩尔吸光系数对比（综合 [1][5]）
关键认识 [1][5]：红外 $\varepsilon$ 比 UV-Vis 小 10–1000 倍，所以红外定量需要更长光程或更高浓度。
1.4 适用条件
朗伯-比尔定律不是普适的，需满足以下条件 [1][3][4]：
① 单色光
- FTIR 通过干涉图傅里叶变换得到"虚拟单色光"，理论上满足
- 但分辨率不足时仍可能偏离
② 稀溶液
- 高浓度（> 0.01 mol/L）时分子间相互作用（氢键、聚集）导致 $\varepsilon$ 变化
- 红外通常用纯液体或固体，浓度高，需特别小心
③ 无散射
- 散射光不参与吸收但增加背景
- KBr 压片必须研磨充分（< 2 μm）
④ 无荧光、光化学反应
- 红外能量低，一般无荧光
- 但某些光敏样品需注意
⑤ 均匀介质
- 样品分布必须均匀
- 压片必须均匀
⑥ 光程固定
- 透射液池光程精确
- KBr 压片"光程"由厚度决定，需内标消除
1.5 偏离朗伯-比尔定律的原因
化学偏离 [1][3][4]：
- 浓度变化导致分子状态变化（如氢键缔合、解离）
- 不同 pH 下酸碱形态不同
- 不同溶剂下 $\varepsilon$ 不同
仪器偏离 [1][3][4]：
- 杂散光（stray light）
- 检测器非线性响应
- 分辨率不足
- 光程不准
典型表现：工作曲线在高浓度端弯曲（向下或向上）。
二、峰高法 vs 峰面积法
2.1 峰高法（Peak Height）
方法 [1][3][4]：测量峰顶到基线的垂直距离。
吸光度
↑
1.0│ ▓▓
0.8│ ▓██▓ ← 峰高 = 0.8
0.6│ ▓████▓
0.4│ ▓▓██████▓▓
0.2│ ▓▓▓▓████████▓▓
0.0│────▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓──→ ν
↑
峰位 ν₀
图 1：峰高法示意
优点 [1][3]：
- 计算简单
- 噪声影响小
- 重现性好（对基线选点不敏感）
缺点 [1][3][4]：
- 受峰宽影响（峰变宽但面积不变时，峰高变低）
- 受峰位漂移影响
- 受分辨率影响
2.2 峰面积法（Peak Area）
方法 [1][3][4]：在峰两侧"积分限"之间积分吸光度。
$$\text{Area} = \int_{\nu_1}^{\nu_2} A(\nu) \, d\nu$$
吸光度
↑
1.0│ ▓▓
0.8│ ▓██▓
0.6│ ▓████▓ ← 阴影区域 = 峰面积
0.4│ ▓▓██████▓▓
0.2│ ▓▓▓▓████████▓▓
0.0│────▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓──→ ν
↑ ↑
ν₁ ν₂
←── 积分区间 ──→
图 2：峰面积法示意
优点 [1][3][4]：
- 受峰宽影响小
- 受峰位漂移影响小
- 受分辨率影响小
- 更适合红外宽峰
缺点 [1][3][4]：
- 受基线选点影响大
- 受邻近峰重叠影响
- 计算复杂
2.3 选择建议
| 应用场景 | 推荐方法 | 原因 |
|---|---|---|
| 单一窄峰、无重叠 | 峰高 | 简单稳定 |
| 宽峰（如 O-H、N-H） | 峰面积 | 峰宽影响小 |
| 重叠峰 | 峰面积 | 减小邻近峰影响 |
| ATR 定量 | 峰高 | ATR 校正后峰形较好 |
| KBr 压片定量 | 峰面积 | 消除粒度影响 |
| 药典定量 | 多用峰面积 | 药典推荐 |
表 3：峰高法 vs 峰面积法选择（综合 [1][3][4]）
💡 专业建议：通常做峰高和峰面积两种方法，比较哪种 RSD 更小，选 RSD 小的 [3][4]。
三、工作曲线法
工作曲线法（标准曲线法、校准曲线法）是定量分析最常用的方法 [1][3][4]。
3.1 工作曲线的建立
流程 [1][3][4]：
- 配制 5–7 个不同浓度的标准品溶液（或 KBr 压片）
- 测量每个标准的红外谱图
- 选择特征分析峰
- 计算每个标准的峰高或峰面积
- 以吸光度（或面积）对浓度作图
- 线性拟合，得到工作曲线
实例数据 [3][4]：
| 浓度 (mg/mL) | 峰面积 (1740 cm⁻¹) |
|---|---|
| 0.5 | 0.42 |
| 1.0 | 0.85 |
| 2.0 | 1.65 |
| 5.0 | 4.18 |
| 10.0 | 8.32 |
| 20.0 | 16.5 |
线性拟合 [3][4]：
$$A = k \cdot c + a$$
其中 $k$ 是斜率（灵敏度），$a$ 是截距（理论上 = 0）。
峰面积 A
↑
20│ ● ← 20 mg/mL
│ ●
15│
│ ●
10│
│ ●
5│ ●
│ ●
0│───●─────────────────────────────→ c (mg/mL)
0 5 10 15 20
图 3：典型工作曲线（线性范围 0–20 mg/mL）
3.2 工作曲线的评价指标
线性相关系数 $R^2$ [1][3][4]：
- $R^2 > 0.999$：优秀
- $R^2 = 0.99$–$0.999$：良好
- $R^2 = 0.95$–$0.99$：可接受（精度有限）
- $R^2 < 0.95$：差，需重新设计
线性范围 [1][3][4]：
- 在此范围内 $A$ 与 $c$ 线性关系成立
- 高浓度端可能偏离（化学偏离）
- 低浓度端可能因 SNR 差而偏离
检测限（LOD） [3][4]：
$$\text{LOD} = \frac{3\sigma}{k}$$
其中 $\sigma$ 是空白样品的标准偏差，$k$ 是工作曲线斜率。
定量限（LOQ） [3][4]：
$$\text{LOQ} = \frac{10\sigma}{k}$$
3.3 未知样品测量
- 测量未知样品谱图
- 计算特征峰的吸光度（或面积）
- 代入工作曲线：$c = (A - a) / k$
- 报告浓度
实例 [3][4]：
- 未知样品峰面积 = 4.50
- 工作曲线：$A = 0.825 \cdot c + 0.05$
- 浓度：$c = (4.50 - 0.05) / 0.825 = 5.39$ mg/mL
3.4 工作曲线的"质量"
判断工作曲线是否可靠 [1][3][4]：
- $R^2 > 0.999$
- 截距 $a$ 接近 0（理论上）
- 残差随机分布（无系统趋势）
- 线性范围覆盖未知样品浓度
- 每个标准至少 3 次平行
常见问题 [3][4]：
- 高浓度弯曲：稀释后重做
- 低浓度偏离：增加扫描次数、改善 SNR
- 截距大：检查空白、扣除背景
四、KBr 压片定量
KBr 压片法是固体定量最常用的方法，但有特殊考虑 [1][3][4]。
4.1 KBr 压片的"光程"问题
KBr 压片厚度受压力、样品量、研磨影响，难以精确控制 [1][3][4]。
解决方案：内标法
常用内标 [1][3][4]：
- KSCN：2050 cm⁻¹（C≡N 伸缩），与大多数有机物峰不重叠
- NaN₃：2140 cm⁻¹（N₃⁻ 反对称伸缩）
- KNO₃：1384 cm⁻¹（NO₃⁻ 反对称伸缩）
内标定量原理 [3][4]：
- 在每个标准品和未知样品中加入相同量内标（如 1% KSCN）
- 测量样品特征峰面积 $As$ 和内标峰面积 $A{\text{std}}$
- 计算比值 $R = As / A{\text{std}}$
- 以 $R$ 对浓度 $c$ 作工作曲线
优点 [3][4]：
- 消除压片厚度误差
- 消除光程不确定性
- 提高重复性
4.2 KBr 压片定量流程
步骤 [3][4]：
1. 准备标准品系列（5–7 个浓度）
│ 标准品 + KBr + KSCN 内标
│ 研磨混合均匀
│
▼
2. 压片（每个标准 3 张平行）
│
▼
3. 测量谱图
│
▼
4. 测量样品峰和内标峰
│
▼
5. 计算比值 R = A_s / A_std
│
▼
6. 作 R vs c 工作曲线
│
▼
7. 测量未知样品
│ 加入相同量内标
│ 压片、测量、计算比值
│
▼
8. 从工作曲线查浓度
图 4：KBr 压片定量流程（参考 [3][4]）
4.3 KBr 压片定量的精度
典型 RSD [3][4]：
- 不加内标：5–10%
- 加内标：1–3%
- 自动压片机：< 1%
五、液池定量
液池定量是液体样品的金标准，光程精确可控 [1][3][4]。
5.1 液池光程测量
干涉条纹法 [1][3][4]：
空液池透射测量，得到干涉条纹：
透光率
↑
100│ ▓▓▓▓ ▓▓▓▓ ▓▓▓▓ ▓▓▓▓
│ ▓▓ ▓▓ ▓▓
0│────────────────────────────→ ν
光程公式 [1][3]：
$$b = \frac{1}{2 \cdot n \cdot \left(\frac{1}{\nu_2 - \nu_1}\right)} = \frac{\nu_2 - \nu_1}{2n \cdot N}$$
其中 $n$ 是液池内介质折射率（空气 $n=1$），$N$ 是 $\nu_1$ 到 $\nu_2$ 之间的条纹数。
实例 [3]：
- 1000–2000 cm⁻¹ 之间有 10 个条纹
- $b = (2000-1000)/(2 \times 1 \times 10) = 50\,\mu\text{m} = 0.05\,\text{mm}$
5.2 液池定量流程
步骤 [1][3][4]：
- 选择合适光程液池（避开 flat-top）
- 测量实际光程（干涉条纹法）
- 配制标准品系列
- 测量每个标准的谱图
- 选择特征峰、计算吸光度
- 作 $A$ vs $c$ 工作曲线
- 测量未知样品
- 从工作曲线查浓度
5.3 液池定量的精度
典型 RSD [3][4]：
- 固定液池：0.5–1%
- 可拆卸液池：1–3%
- 高端液池：< 0.5%
六、ATR 定量
虽然 ATR 光程随波长变化，但固定条件下仍可定量 [3][4][7]。
6.1 ATR 定量的可行性
前提 [3][4][7]：
- 固定晶体材料、入射角
- 固定样品量、压力
- 固定温度
- 用峰高比或峰面积比，而非绝对吸光度
6.2 ATR 定量流程
步骤 [3][7]：
- 准备标准品系列
- ATR 测量（固定压力、晶体）
- 测量特征峰吸光度
- 作 $A$ vs $c$ 工作曲线
- 测量未知样品
6.3 ATR 定量的精度
典型 RSD [3][4][7]：
- 手动压力 ATR：2–5%
- 气动压力 ATR：1–2%
- 与液池定量接近
⚠️ ATR 定量注意：每次测量前必须重新采背景，因为晶体温度、压力都可能影响背景 [3][7]。
七、多组分定量
7.1 两组分定量
原理 [1][3][4]：两个组分在两个特征峰处都有吸收，但比例不同。
设两组分 A、B，浓度 $c_A, c_B$，在波数 $\nu_1, \nu_2$ 处的吸光度：
$$\begin{cases} A_{\nu_1} = \varepsilon_{A1} \cdot b \cdot c_A + \varepsilon_{B1} \cdot b \cdot c_B \\ A_{\nu_2} = \varepsilon_{A2} \cdot b \cdot c_A + \varepsilon_{B2} \cdot b \cdot c_B \end{cases}$$
求解：
$$\begin{pmatrix} c_A \\ c_B \end{pmatrix} = \frac{1}{b} \begin{pmatrix} \varepsilon_{A1} & \varepsilon_{B1} \\ \varepsilon_{A2} & \varepsilon_{B2} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} A_{\nu_1} \\ A_{\nu_2} \end{pmatrix}$$
实例 [3][4]：测定乙酸乙酯 + 乙酸混合物
- 乙酸乙酯 C=O: 1740 cm⁻¹
- 乙酸 C=O: 1710 cm⁻¹
- 在 1740 和 1710 两个波数处测量吸光度
- 解联立方程得 $c_A, c_B$
7.2 多组分（≥ 3）定量
矩阵法 [1][3][4]：
$$\mathbf{A} = \mathbf{E} \cdot \mathbf{C} \cdot b$$
其中：
- $\mathbf{A}$：吸光度向量（在多个波数处）
- $\mathbf{E}$：吸光系数矩阵
- $\mathbf{C}$：浓度向量
求逆：
$$\mathbf{C} = \frac{1}{b} \mathbf{E}^{-1} \mathbf{A}$$
条件 [3][4]：
- 矩阵非奇异（行列式 ≠ 0）
- 各组分谱图有差异
- 测量波数 ≥ 组分数
7.3 PLS（偏最小二乘）
原理 [3][4][8]：用全谱数据建立线性模型，避免选峰主观性。
流程 [3][8]：
- 准备大量已知样品（≥ 30 个，覆盖浓度范围）
- 测量全谱（4000–400 cm⁻¹）
- 用 PLS 算法建立校准模型
- 验证模型（用验证集）
- 测量未知样品，预测浓度
优势 [3][8]：
- 用全谱信息，更准确
- 处理重叠峰
- 适合复杂混合物
劣势 [3][8]：
- 需要大量校准样品
- 需要专业软件（PLS Toolbox、Unscrambler）
- 模型维护成本
软件 [3][8]：
- Thermo TQ Analyst
- Bruker OPUS QUANT
- PLS_Toolbox (MATLAB)
- Python (scikit-learn, pyMCR)
八、定量分析的注意事项
8.1 光程一致性
透射液池 [1][3][4]：
- 同一液池测量所有样品
- 测量实际光程（干涉条纹法）
- 液池窗片要清洁
KBr 压片 [1][3][4]：
- 用内标消除厚度差异
- 标准和未知用同一批 KBr
- 压片机压力固定
ATR [3][7]：
- 气动压力优于手动
- 每次同样压力
- 晶体温度恒定
8.2 基线选择
峰高基线 [3][4]：
- 选峰两侧"无吸收"区域为基线点
- 基线长度应 > 峰宽的 2 倍
- 避免选在邻近峰的"肩部"
峰面积基线 [3][4]：
- 积分限选在峰两侧"波谷"
- 避免选在邻近峰
- 同一样品每次相同积分限
8.3 分析峰选择
理想分析峰 [1][3][4]：
- 强度适中（吸光度 0.3–1.5）
- 不与其他峰重叠
- 受分子间相互作用影响小
- 易归属（如 C=O、C-H、N-H）
避免选择 [1][3][4]：
- 重叠峰
- 强吸收峰附近（flat-top 风险）
- 弱吸收峰（SNR 差）
- 受水/CO₂ 干扰区域（3400、1640、2350）
🔗 延伸：常用分析峰（如 C=O 在 1700 附近）的特征见 ftir.fun 羰基官能团页。
8.4 标准品与样品处理一致
关键原则 [1][3][4]：
- 同一溶剂、同一基质
- 同一制样方法
- 同一测量条件
- 同一数据处理流程
实例 [3][4]：
- 标准品用 KBr 压片 → 未知样品必须用 KBr 压片
- 标准品用 CaF₂ 液池 → 未知样品必须用 CaF₂ 液池
8.5 平行实验
最少平行数 [3][4]：
- 一般分析：3 次
- 定量分析：≥ 3 次（RSD < 2%）
- 药典定量：6 次
RSD 要求 [3][4][6]：
- 药典定量：RSD < 2%
- 工业分析：RSD < 5%
- 研究分析：RSD < 1%
九、实例：测定混合物某组分含量
让我们用一个完整的实例演示红外定量分析流程。
9.1 任务
目标：测定工业丙酮-乙醇混合物中丙酮含量（已知约 20–50%）
样品：3 个未知混合物（编号 M1、M2、M3）
9.2 方法选择
方法：液池透射法
- 液体样品 → 透射液池（详见 Ep 16）
- 需精确定量 → 透射优于 ATR
- 有合适标准品 → 工作曲线法
光程选择 [3][4]：
- 丙酮 C=O（1715 cm⁻¹），$\varepsilon \approx 500$ L·mol⁻¹·cm⁻¹
- 浓度范围 20–50% ≈ 3–8 mol/L
- 推荐光程：$b = 1/(\varepsilon \cdot c) = 1/(500 \times 5) = 0.0004$ cm = 4 μm
实际选择：6 μm 光程 CaF₂ 液池（避免太短，便于操作）
9.3 标准品准备
配制 5 个标准溶液 [3][4]：
- S1: 10% 丙酮 + 90% 乙醇
- S2: 20% 丙酮 + 80% 乙醇
- S3: 30% 丙酮 + 70% 乙醇
- S4: 40% 丙酮 + 60% 乙醇
- S5: 50% 丙酮 + 50% 乙醇
9.4 谱图采集
仪器：Bruker Tensor II
附件：CaF₂ 液池，6 μm 光程
参数：4 cm⁻¹ 分辨率，32 次扫描，4000–400 cm⁻¹
测量 [3][4]：
- 用纯乙醇做背景（消除乙醇影响）
- 测量 S1–S5 谱图
- 测量 M1–M3 谱图
9.5 数据处理
分析峰：1715 cm⁻¹（丙酮 C=O 伸缩）[1][5]
🔗 延伸：丙酮和其他羰基化合物的特征峰见 ftir.fun 羰基官能团页。
峰面积计算 [3][4]：
- 积分区间：1740–1690 cm⁻¹
- 基线：连接 1740 和 1690 两点
- 软件（OMNIC/OPUS）自动计算
结果 [3][4]：
| 标准品 | 丙酮浓度 (%) | 峰面积 (1715 cm⁻¹) |
|---|---|---|
| S1 | 10 | 2.05 |
| S2 | 20 | 4.10 |
| S3 | 30 | 6.18 |
| S4 | 40 | 8.25 |
| S5 | 50 | 10.32 |
9.6 工作曲线
线性拟合 [3][4]：
$$A = 0.2065 \cdot c + 0.005$$
线性参数：
- 斜率 $k = 0.2065$（面积/%）
- 截距 $a = 0.005$（接近 0，符合预期）
- 相关系数 $R^2 = 0.9998$
- 线性范围：10–50%
峰面积
↑
12│ ● S5
│
10│ ● S4
│
8│ ●
│
6│ ● S3
│
4│ ● S2
│
2│ ● S1
│
0│─────────────────────────────→ c (%)
0 10 20 30 40 50
图 5：丙酮定量工作曲线
9.7 未知样品测定
测量 M1、M2、M3 谱图 [3][4]：
- M1 峰面积：5.20
- M2 峰面积：7.85
- M3 峰面积：3.50
代入工作曲线 [3][4]：
- M1: $c = (5.20 - 0.005) / 0.2065 = 25.2\%$
- M2: $c = (7.85 - 0.005) / 0.2065 = 38.0\%$
- M3: $c = (3.50 - 0.005) / 0.2065 = 16.9\%$
9.8 平行实验与精度
M1 三次平行 [3][4]：
- 第 1 次：25.2%
- 第 2 次：24.8%
- 第 3 次：25.5%
- 平均：25.2%
- RSD：1.4%（满足药典 < 2% 要求）
9.9 报告
定量分析报告
============
样品：M1（丙酮-乙醇混合物）
方法：液池透射法（CaF₂，6 μm 光程）
分析峰：1715 cm⁻¹（丙酮 C=O）
工作曲线：A = 0.2065·c + 0.005
R² = 0.9998
线性范围 10–50%
结果：
丙酮含量 = 25.2% (w/w)
RSD = 1.4% (n=3)
操作者：张三
日期：2026-07-24
十、红外定量 vs UV-Vis、色谱
10.1 红外定量的优势
① 无需分离 [1][4]
- 直接测混合物
- 不破坏样品
- 适合过程分析
② 提供化学信息 [1][4]
- 不仅定量，还能定性
- 能识别官能团变化
- 适合反应监测
③ 适用范围广 [1][4]
- 气体、液体、固体均可
- 有机、无机均可
- 水溶液、非水溶液均可
④ 速度 [1][4]
- 单次测量 1 分钟（ATR）
- 适合高通量
10.2 红外定量的劣势
① 灵敏度低 [1][4][5]
- $\varepsilon$ 比 UV-Vis 小 10–1000 倍
- 检测限通常 > 0.1%
- 不适合痕量分析（ppm 级以下）
② 光程控制 [1][4]
- KBr 压片光程不易控制
- ATR 光程随波长变化
- 影响定量精度
③ 重叠干扰 [1][4]
- 复杂混合物谱图重叠
- 需要化学计量学方法
④ 样品制备 [1][4]
- 比UV-Vis复杂
- KBr 压片需要技巧
- 液池需要清洁
10.3 与 UV-Vis 对比
| 维度 | 红外 | UV-Vis |
|---|---|---|
| 灵敏度 | 低（> 0.1%） | 高（ppm–ppb） |
| 选择性 | 高（指纹区） | 中（峰重叠常见） |
| 信息量 | 大（结构信息） | 小（仅浓度） |
| 光程控制 | 难（KBr 压片） | 易（液池标准） |
| 样品制备 | 复杂 | 简单 |
| 水溶液兼容 | 中 | 优 |
| 适用浓度 | 高（> 0.1%） | 低（ppm–%） |
表 4：红外 vs UV-Vis 定量对比（综合 [1][4][5]）
10.4 与色谱对比
| 维度 | 红外 | HPLC/GC |
|---|---|---|
| 灵敏度 | 低 | 高（ppm–ppb） |
| 选择性 | 中（峰重叠） | 极高（分离） |
| 速度 | 快（1 分钟） | 慢（10–60 分钟） |
| 样品制备 | 简单 | 复杂（萃取、衍生） |
| 信息量 | 结构信息 | 保留时间 |
| 在线监测 | 适合 | 困难 |
| 设备成本 | 中 | 高 |
| 操作难度 | 中 | 高 |
表 5：红外 vs 色谱定量对比（综合 [1][4]）
10.5 何时选红外定量？
适合的场景 [1][4]：
- 浓度较高（> 0.1%）
- 需要快速测量（过程控制）
- 不破坏样品
- 同时需要定量和定性信息
- 反应监测、原位分析
不适合的场景 [1][4]：
- 痕量分析（< 0.1%）
- 复杂混合物（> 5 组分）
- 极高精度要求（< 0.5% RSD）
- 无特征峰的化合物
十一、定量分析的最佳实践
11.1 方法开发流程
1. 需求分析
│ 浓度范围、精度要求、样品类型
│
▼
2. 方法选择
│ 透射 vs ATR；液池 vs 压片
│
▼
3. 光程选择
│ 基于 ε 和浓度
│
▼
4. 分析峰选择
│ 强度适中、不重叠
│
▼
5. 标准品准备
│ 5–7 个浓度，覆盖范围
│
▼
6. 工作曲线
│ 测量、线性拟合、评估
│
▼
7. 验证
│ 准确度、精密度、LOD、LOQ
│
▼
8. 样品测量
│ 平行 ≥ 3 次
│
▼
9. 报告
│ 含完整方法描述
图 6：定量分析方法开发流程（综合 [1][3][4]）
11.2 验证指标
药典方法验证 [6]：
- 准确度：加标回收 98–102%
- 精密度：RSD < 2%（n=6）
- 线性：$R^2 > 0.999$
- 范围：80–120% of 目标浓度
- 检测限 LOD：信噪比 3:1
- 定量限 LOQ：信噪比 10:1
- 耐用性：参数微变不影响结果
11.3 误差来源分析
| 误差来源 | 影响 | 控制方法 |
|---|---|---|
| 光程不一致 | 系统误差 | 内标法、固定液池 |
| 制样差异 | 随机误差 | 平行实验、SOP |
| 仪器漂移 | 系统误差 | 重采背景、定期校准 |
| 样品不均 | 随机误差 | 多点取样、研磨 |
| 基线选点 | 系统误差 | 自动算法、固定SOP |
| 峰重叠 | 系统误差 | PLS、差谱 |
| 杂质干扰 | 系统误差 | 萃取分离 |
表 6：定量分析误差来源（综合 [1][3][4]）
配图（本集关键示意）
📷 图 7：谱图处理流水线
来源：ftir.fun 教学示意图（带水印；非实测谱，仅供理解概念）
📷 图 8：库检索概念
来源：ftir.fun 教学示意图（带水印；非实测谱，仅供理解概念）
📷 图 9：朗伯-比尔定量示意
来源：ftir.fun 教学示意图（带水印；非实测谱，仅供理解概念）
本集小结
| 核心知识点 | 要点 |
|---|---|
| 朗伯-比尔定律 | $A = \varepsilon \cdot b \cdot c$ |
| 适用条件 | 单色光、稀溶液、无散射、均匀、光程固定 |
| 摩尔吸光系数 | 红外 $\varepsilon$ 比 UV-Vis 小 10–1000 倍 |
| 最佳 A 范围 | 0.3–1.0 |
| 峰高法 | 简单稳定，受峰宽影响 |
| 峰面积法 | 受峰宽影响小，更适合红外宽峰 |
| 工作曲线法 | 5–7 个标准，$R^2 > 0.999$ |
| 检测限 LOD | $3\sigma/k$ |
| 定量限 LOQ | $10\sigma/k$ |
| KBr 压片定量 | 内标法（KSCN 2050 cm⁻¹） |
| 液池光程测量 | 干涉条纹法 |
| ATR 定量 | 固定条件，RSD 1–5% |
| 多组分定量 | 解联立方程 / PLS |
| 透射液池精度 | RSD 0.5–1% |
| KBr 压片精度（加内标） | RSD 1–3% |
| ATR 精度 | RSD 1–5% |
| 药典要求 | RSD < 2%，加标回收 98–102% |
| 与 UV-Vis 对比 | 灵敏度低，但选择性和信息量高 |
| 与色谱对比 | 灵敏度低，但速度快、不破坏样品 |
| 适合场景 | 浓度 > 0.1%、过程控制、原位监测 |
思考题
朗伯-比尔定律 $A = \varepsilon bc$ 在哪些条件下会失效？请列出至少 3 种常见原因，并说明如何检测和避免。
你需要测定 KBr 压片中某药物原料药含量（约 50%）。请设计完整定量方案，包括内标选择、标准品配制、工作曲线建立、未知样品测量，以及预期精度。
用红外定量测丙酮-乙醇混合物中丙酮含量。已知丙酮 $\varepsilon_{1715} = 500$ L·mol⁻¹·cm⁻¹，预期浓度 30%（约 4 mol/L）。请计算推荐光程。如果用 0.1 mm 液池会怎样？
红外定量的 RSD 通常在 1–5%，而 HPLC 可达 0.5%。为什么红外定量精度不如色谱？哪些误差来源是红外特有的？
你需要原位监测一个酯化反应（酸 + 醇 → 酯 + 水），追踪酯的生成。请设计红外定量方案，说明选择 ATR 还是透射？哪些峰用于追踪反应？如何建立工作曲线？
参考文献
[1] Griffiths P R, de Haseth J A. Fourier Transform Infrared Spectrometry. 2nd ed. Wiley, 2007. Chapter 11–13. ISBN: 978-0-471-19404-0.
[2] Beer A. "Bestimmung der Absorption des rothen Lichts in farbigen Flüssigkeiten." Annalen der Physik und Chemie, 1852, 162(5): 78–88. DOI:10.1002/andp.18521620505.
[3] Smith B C. Quantitative Spectroscopy: Theory and Practice. Elsevier, 2002. ISBN: 978-0444511246.
[4] Smith B C. Fundamentals of Fourier Transform Infrared Spectroscopy. 2nd ed. CRC Press, 2011. Chapter 8–10. ISBN: 978-1420069297.
[5] Socrates G. Infrared and Raman Characteristic Group Frequencies. 3rd ed. Wiley, 2001. ISBN: 978-0470093078.
[6] 中华人民共和国药典委员会. 中华人民共和国药典 2020 年版四部通则 0402 红外分光光度法. 中国医药科技出版社.
[7] Kazarian S G, Ewing A V. "Applications of FTIR Spectroscopic Imaging to Tablet Dissolution and Drug Release." Expert Opinion on Drug Delivery, 2013, 10(9): 1207–1221. DOI:10.1517/17425247.2013.802832.
[8] Wold S, Sjöström M, Eriksson L. "PLS-Regression: A Basic Tool of Chemometrics." Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 2001, 58(2): 109–130. DOI:10.1016/S0169-7439(01)00155-1.
[9] ASTM E168-16. "Standard Practices for General Techniques of Infrared Quantitative Analysis." ASTM International, 2016.
[10] USP General Chapter <851>. "Spectrophotometry and Light-Scattering." United States Pharmacopeia.
[11] ICH Q2(R1). "Validation of Analytical Procedures: Text and Methodology." International Conference on Harmonisation, 2005.
[12] ftir.fun. "红外光谱官能团数据库：羰基."
https://ftir.fun/ir/group/car…
下一集预告：Ep 21 — 进入第三篇中级篇，将聚焦红外光谱在具体行业的应用案例
本集是第二篇"初级篇"的收官。从 Ep 1 到 Ep 20，我们走完了从红外光原理、分子振动、官能团识别、仪器原理、采样技术、制样方法、操作流程、谱图处理、定性分析到定量分析的完整旅程。下集起将进入"中级篇"，结合制药、食品、聚合物、环境、法医等行业的真实案例，深化红外光谱的实战能力。
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